Теорема Гаусса Остроградского

Теорема дивергенции, более известная, особенно в более старой литературе, как теорема Гаусса — Остроградского(например, Арфкен 1985), а также известная как теорема Гаусса-Остроградского, является теоремой векторного исчисления, которая может быть сформулирована следующим образом. Позвольте Вбыть области в пространстве с границей partialV. Тогда объемный интеграл от дивергенции del · F в Fболее Ви поверхностный интеграл от Fпо границе. Советуем вам перейти на сайт meanders.ru, здесь узнаете больше о Теореме Гаусса — Остроградского https://meanders.ru/teorema-gaussa-ostrogradskogo.shtml

int_V (del · F) dV = int_ (partV) F · da.
(1)
Теорема дивергенции представляет собой математическое утверждение физического факта, что в отсутствие создания или разрушения вещества плотность в области пространства может изменяться только при наличии потока в область или из области через ее границу.

Частный случай теоремы расходимости следует, специализируясь на плоскости. Если обозначить Sобласть на плоскости с границей Partials, уравнение ( 1 ) затем сворачивается в

int_Sdel · FdA = int_ (ParticalS) F · n ^^ ds.
(2)
Если векторное поле F удовлетворяет определенным ограничениям, можно использовать упрощенные формы. Например, если Р (х, у, г) = у (х, у, г) с где спостоянный вектор ! = 0, то

int_SF · DA = C · int_Svda.
(3)
Но

del · (fv) = (del f) · v + f (del · v),
(4)
так

int_Vdel · (cv) dV знак равно int_V [(del v) · c + vdel · c] dV
(5)
знак равно c · int_Vdel vdV
(6)
а также

c · (int_Svda-int_Vdel vdV) = 0.
(7)
Но с! = 0и C · F (V)должен меняться с vтем, чтобы C · F (V)не всегда равнялся нулю. Следовательно,

int_Svda = int_Vdel vdV.
(8)
Аналогично, если Р (х, у, г) = ехр (х, у, г)где спостоянный вектор ! = 0, то

int_SdaxP = int_Vdel xPdV.
Теорема расходимости дает формулу в интегральном исчислении функций от нескольких переменных, которая устанавливает связь между nинтеграл по области и n — 1интеграл по его границе. Формула, которая может рассматриваться как прямое обобщение фундаментальной теоремы исчисления , часто упоминается как: формула Грина, формула Гаусса-Грина, формула Гаусса, формула Остроградского, формула Гаусса-Остроградского или формула Гаусса-Грина-Остроградского.

Напомним, что при открытом множестве U⊂ RN, векторное поле на Uэто карта v : U→ RN, Если vдифференцируемо, и компоненты векторного поля обозначены через v1, … , VN, То расхождение в V дается функцией
д я vV : = ∑я = 1N∂vя∂Икся,
Теорема о расходимости утверждает, что

Теорема 1 Если vэто С1векторное поле, ∂Uявляется регулярным (то есть может быть описан локально как граф C1функция) и U ограничен, то
∫Uд я vV = ∫∂UV ⋅ ν,(1)
где νобозначает единицу, нормальную к ∂Uуказывая на «экстерьер» (а именно RN∖ U¯¯¯¯).

Когда размер нэто 1и Uэто интервал я= [ a , b ], левая часть (1) дан кем-то
∫бaе'( х )dИкс
и правая часть дается е( б ) — ф( а )Следовательно, теорема является обобщением фундаментальной теоремы исчисления . Для больших пинтеграл в правой части (1)представляет собой поверхностный интеграл, который вычисляется по формуле площади и называется потоком векторного поля vчерез ∂U, Если vкомпактно поддерживается в области Vгде U∩ Vподграф функции f, то поток Vпринимает простую форму. Точнее, предположим, что U∩ V= { ( х1, … , ХN) ∈ V: хN< F( х1, … , Хn — 1) }, Тогда в предположении, что vисчезает за пределами V, у нас есть
∫∂UV ⋅ ν= ∫( vN( х’, ф( х’) ) — ∂е∂Икс1( х’) v1( х’, ф( х’) ) — … — ∂е∂Иксn — 1( х’) vn — 1( х’, ф( х’) ) )dИкс’,
где х’= ( х1, … , Хn — 1), Эта формула может использоваться вместе с разделом единицы для вычисления (или определения) потока общего векторного поля v,

Замечание 2 Три ключевых положения теоремы 1 могут быть сильно ослаблены:

Ограниченность Uможет быть отброшен, если мы предположим, что векторное поле vимеет подходящие свойства распада для | х | → ∞,
Регулярность ∂Uможет быть значительно ослаблен. Например, теорема верна, когда ∂Uкусочно C1и особенности «угловые». В целом, это все еще имеет место, если ∂Uэто липшиц. Важное обобщение справедливо для множеств конечного периметра : в этом случае поток векторного поля через ∂U должны быть соответствующим образом определены в теоретическом смысле меры.
Формула остается в силе, когда vпринадлежит соболевскому пространству W1 , р: в этом случае правая часть (1)должен быть соответствующим образом интерпретировать, так как Vне обязательно непрерывно. Обратите внимание, что почти всюду дифференцируемость vнедостаточно для гарантии (1), даже когда vявляется непрерывным: см. Абсолютную непрерывность для контрпример.
Одновременные ослабления более чем одного предположения должны быть обработаны с осторожностью.

Замечание 3 Формула имеет также важные обобщения геометрического аромата. В частности, оно имеет место на регулярных открытых подмножествах римановых многообразий . Далеко идущее обобщение дается формулой Стокса с использованием языка дифференциальных форм .

Замечание 4 Теорема 1 приписывается разным людям. 2Трехмерный случай часто приписывают Грин, см. [Gr] . 3-мерная формула приписывается Гауссу, который доказал частный случай в 1813 году, и Остроградскому (см. [Os1] ), который позже обобщил ее на общее измерение, [Os2] . Иногда также приписывают Римана. Однако следует отметить, что формула уже присутствует в работах Эйлера и других математиков 18-го века.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *